正交系

在普通空间里，x、y、z 轴之所以有用，正因为它们互相垂直：每个轴度量其它轴忽略的方向。正交系是这一思想对函数的版本——其成员在积分内积下互相‘垂直’，故每个都捕获一个独立于其余的特征。这正是为何在这种系中作展开很简单：你逐个读出每个系数，无需把它从别的系数中解开。

具体地说，在内积空间中（如 L2，其内积为 f 与 g 之内积等于 f 乘 g 的共轭的积分），若当 n 不等于 m 时 phi_n 与 phi_m 的内积为 0，则系 (phi_n) 是正交的。若另外每个 phi_n 的范数为 1，则系是标准正交的。[-pi, pi] 上的三角函数 {1, cos n x, sin n x} 以及复指数 {e^{i n x}} 是原型，满足 当 n 不等于 m 时 在 [-pi, pi] 上 integral of e^{i n x} 乘 e^{-i m x} dx = 0。

仅有正交性还不足以表示每个函数——你还需要完备性，即没有非零函数与整个系正交。仅仅正交的系可能遗漏方向，只给出贝塞尔不等式；完备的标准正交系张成整个空间，给出等式（帕塞瓦尔）和真正的级数展开。其它重要的完备正交系包括勒让德、埃尔米特和拉盖尔多项式，各自针对不同的权重与区间。