三角级数

三角级数是任何形如 a_0/2 + 求和 (a_n cos(n x) + b_n sin(n x)) 的级数，其系数为任意实数（或复数）——并不预设背后存在某个函数 f。可把它看作用谐波搭建波形的蓝图，在我们追问它所描述的波是否为合理函数之前就先写下来。

每个傅里叶级数都是三角级数，但反之不然。可积函数 f 的傅里叶级数是其系数由 f 的积分给出的那种特殊三角级数。存在处处收敛却不是任何可积函数之傅里叶级数的三角级数——例如 对 n >= 2 求和 (sin(n x))/log(n) 对每个 x 都收敛，但其‘系数’ b_n = 1/log(n) 不是平方可和的，故它不可能是任何 L2 函数的傅里叶级数。

这一区分开创了本学科。康托尔研究三角级数何时能处处等于零（即唯一性问题），由此引导他构造实数并发明集合论。所以这个看似狭窄的概念，从历史上看正是现代分析与集合论众多内容由之生长的种子。