康托尔对角线论证

康托尔对角线论证是一个出奇简单的证明，表明实数无法被列举，从而是不可数的。它是反证法：假设你确实拥有 (0, 1) 中全部实数的完整清单，每行一个，写成无穷小数。论证制造出一个实数，按其构造，它与清单上每一项都不同——于是这份清单终究并不完整。

其构造是“对角线”一招。沿对角线读下来造一个新数 d——它的第 n 位小数被选得与清单上第 n 个数的第 n 位不同（例如把每个对角位都改成 5，若原本已是 5 则改成 6）。于是 d 不可能等于清单的第一个数（它们在第 1 位不同），也不等于第二个（在第 2 位不同），如此下去：d 与第 n 个数在第 n 位不同。故 d 是 (0, 1) 中一个不在清单上的实数，即所求矛盾。

需要一处技术上的当心：小数展开并非完全唯一（0.4999… 等于 0.5000…），故须选取避开 0 与 9 的替换数字以躲开这一歧义。修补之后结论成立：不存在实数的枚举。同样的对角线想法施于特征函数，便证明康托尔的一般定理：没有集合能满射到自己的幂集上；它还以哥德尔不完备性与停机问题不可解的核心姿态在逻辑中重现。