可数集

一个集合是可数的，当它的元素能与自然数的某个子集建立双射时——通俗地说，当你能把它们排成一份清单（也许无穷）：有第一个、第二个、第三个……以至每个元素最终都会出现。有限集是可数的；无穷可数集则是其元素能枚举为一个不重复、不遗漏的单一无穷序列的集合。

文献中定义有别：有些作者用“可数”专指可数无穷（与整个 N 之间有双射），而把也允许有限集的版本称为“至多可数”。我们采用上述包含有限集的约定。关键的正面结果令人瞩目：整数 Z 乃至有理数 Q 都是可数的，尽管 Q 在实数中稠密。可数的有理数可由对分数网格的对角扫描列出。

可数性在分析的诸运算下是稳健的：可数集的子集可数，可数个可数集的并可数，有限个可数集的积也可数。这正是“小”的无穷表现良好的确切含义。戏剧性的反差在于：实数不可数——不存在列出全部实数的清单——这正是康托尔对角线论证的内容。