全纯函数

全纯函数是复分析的核心主角:一个不仅在某一点、而且在某开区域中每一点都复可微的函数。可以把它想象成一个与复平面如此光滑地编织在一起的函数,以至于一旦你在一小块上认识了它,你就几乎处处认识它——它的局部行为以诡异的紧密度支配着它的全局行为。整套丰富理论正是为这类函数而生。

形式上,若 f 的复导数 f'(z) 在开集 U 中每一点 z 都存在,则称 f 在 U 上全纯。一个里程碑定理(柯西积分公式的推论)指出,这单单一个假设就迫使 f 无穷次复可微,而且在每一点的邻域内等于自身收敛的幂级数。因此“全纯”与“复解析”描述的恰是同一类函数——这一巧合在实分析中毫无对应,那里光滑函数可能严重地不解析。

全纯性以惊人的方式刚性。连通开集上两个全纯函数若在某个带有极限点的小集合上相等,则必处处相等(恒等定理)。非常值全纯函数的模没有内部极大值。它的零点是孤立的。这些论断对一般实可微函数没有一条接近成立,后者可以随意弯折与拼接。