整函数

整函数是毫无例外、毫无边界的全纯函数——在复平面的每一个点都复可微,处处没有奇点。可以说,它在有限平面上“一直全纯到无穷远”。最简单的例子是多项式,但真正的明星是超越的那些,如指数函数、正弦和余弦,它们在远处的行为要有趣得多。

形式上,若 f 在整个 C 上全纯,则称 f 为整函数。等价地,f 等于单一幂级数和 sum a_n z^n,它对每个复数 z 都收敛,即收敛半径无穷大。常值函数、每个多项式、e^z、sin z、cos z,以及它们的组合与复合都是整函数。

整函数受强有力的全局定理支配,正因为它们无处可以失常。刘维尔定理说有界整函数是常值——故任何非常值整函数必在某处无界增长。当 |z| -> infinity 时的增长速率(函数的“阶”)通过阿达马与魏尔斯特拉斯的深刻结果控制其零点分布。一个值得说明的告诫:“整”仅指有限平面;像 e^z 这样的函数在无穷远处有一个真正狂野的本性奇点,这正是 e^z 不是多项式的原因。