本性奇点

本性奇点是孤立奇点所能拥有的最狂野的行为——既非可去的虚惊一场,也非整洁的极点,而是真正的、不可化约的混沌之点。在这样的点附近,函数拒绝安定:它不保持有界,也不干净地爆破到无穷,而是一遍又一遍地乱扫几乎每一个可能的复值。它是一场无论你看得多近都不平息的风暴的解析对应物。

形式上,若 z0 是孤立奇点,且 f 在 z0 周围的洛朗级数有无穷多个非零的负幂系数,则 z0 是 f 的本性奇点。惊人的卡索拉蒂–魏尔斯特拉斯定理说,在本性奇点的每一个邻域内,函数任意接近每一个复数;更强的大皮卡定理说,它在任意去心邻域内实际取得每一个复值无穷多次,至多有一个例外。

教科书例子是 z = 0 处的 e^{1/z}。当 z 螺旋着向原点逼近时,1/z 朝各个方向冲向无穷,指数函数旋扫的值稠密地覆盖整个平面——沿正实轴逼近时 e^{1/z} -> infinity,沿负实轴逼近时它 -> 0,而中间方向取到介于其间的一切。这正是为什么本性奇点处在亚纯函数及带导数捷径的留数公式那个舒适世界之外。