奇点

奇点是函数的全纯良好行为崩溃之处——在原本光滑的复地貌中的一处瑕疵、缺口或爆破。它常常是被一片函数完全全纯的区域所环绕的单个坏点(孤立奇点),如原本无瑕薄片上的一个针孔。整套留数演算的艺术,正是关于编目并利用恰恰这些缺陷。

确切地说,若 f 在 z0 处不全纯(但通常在任意靠近它的点处全纯),则点 z0 是 f 的一个奇点。当 f 在 z0 周围的去心圆盘上全纯而在 z0 本身不全纯时,z0 是孤立奇点,它们恰好有三种,由那里的洛朗级数分类:可去的(可重新定义函数使之全纯,无负幂)、极点(有限多负幂,函数爆破到无穷)、本性的(无穷多负幂,行为狂野)。

这一分类是精确而完备的:每个孤立奇点恰是这三者之一。可去奇点不是真正的障碍——黎曼定理说奇点可去当且仅当 f 在 z0 附近保持有界。要小心把孤立奇点与非孤立奇点区分开(如平方根的分支点,或函数可能拥有的稠密极点簇),后者落在这一整洁的三分法之外。