极点

极点是全纯函数爆破的最温顺方式:在极点处函数冲向无穷,但以一种受控、可预测的方式,像到坏点距离的某个负幂。当你逼近极点时,|f(z)| -> infinity 光滑地进行,函数本质上像 1/(z - z0)^m,其中 m 为某正整数。极点是被充分理解的奇点——文明的无穷,与本性奇点的混沌形成对照。

确切地说,若在 z0 附近 f(z) 可写成 g(z) / (z - z0)^m,其中 g 在 z0 处全纯且非零,则孤立奇点 z0 是 m 阶极点(m 为正整数)。等价地,f 在 z0 周围的洛朗级数只有有限多个负幂项,最负的为 (z - z0)^{-m}。一阶极点称为单极点。其定义性行为是当 z -> z0 时 |f(z)| 趋于无穷,这既把极点与可去奇点(f 保持有界)区分开,也把它与本性奇点(不存在有限或无限的极限)区分开。

其奇点全为极点的函数称为亚纯函数,它们构成一类行为优美的函数——全纯函数之比,如有理函数,即其原型。在 m 阶极点处,留数和洛朗级数的主要部分可用一个干净的导数公式算出,使极点成为留数演算的家常便饭。一个告诫:“m 阶”计入重数,故二阶极点(m = 2)比单极点爆破得更快。