留数定理

留数定理是围道积分的宏大统一回报:要把一个函数沿闭环积分,你根本无需追踪曲线——你只需找出被困在内部的奇点,在每个奇点处算一个数(留数),把它们加起来,再乘以 2pi i。整个全局积分坍缩为一桩微小的局部记账。它把在实直线上本无望的微积分,变成例行的算术。

确切地说:设 f 在某开集上除孤立奇点外全纯,设 gamma 是正定向的简单闭围道,围住其中有限多个奇点且不穿过任何一个。则 f 沿 gamma 的围道积分等于 2pi i 乘以 f 在 gamma 内部各奇点处留数之和。(更一般地,每个留数以 gamma 关于该奇点的卷绕数加权。)柯西积分定理是没有围住奇点的特殊情形,给出 0。

它的覆盖面极广。它求实定积分,如 1/(1 + x^2) 在整条线上的积分;求级数之和,如 sum 1/n^2;计算傅里叶与拉普拉斯变换;并支撑计数零点减极点的辐角原理。本质的纪律是正确的记账:把围道内部的每一个奇点都纳入,把外部的每一个都排除,留意定向,并记住恰好坐落在围道上的奇点会使定理按所述不再适用。