洛朗级数

洛朗级数是允许双向延伸的幂级数——不仅有 (z - z0) 通常的非负幂,还有负幂。泰勒级数只能描述在中心处全纯的函数,而洛朗级数能在一个点周围的环形区域上描述函数,该点处函数可能有奇点。负幂项恰恰是捕捉函数在坏点附近如何失常所必需的。

形式上,在 f 全纯的圆环 r < |z - z0| < R 上,f 有唯一展开 f(z) = 对所有整数 n 求和的 a_n (z - z0)^n,求和从 n = -infinity 到 +infinity。负 n 的部分称为主要部分;它编码奇点。系数由围道积分给出:a_n = (1/(2pi i)) 乘以 f(z) / (z - z0)^{n+1} dz 绕圆环中某圆的积分。

洛朗展开是分类孤立奇点的诊断工具:无负幂意味着可去,有限多个意味着极点(其阶等于出现的最负幂),无穷多个意味着本性。(z - z0)^{-1} 项的系数 a_{-1} 被单独挑出作为留数,因为它是唯一其绕 z0 的围道积分留存下来的项——其他每个幂都积分为零。一个告诫:同一函数在不同圆环中可以有不同的洛朗级数,故必须指明收敛的环。