刘维尔定理

刘维尔定理抓住了一种惊人的刚性:一个停留在任何固定界限之内的整函数——其输出从不逃出某个有限半径的圆盘——别无选择,只能是一个平坦的常值。不存在永远在整个平面上荡漾却保持有界的全纯“波”;处处复可微再加上有界,就迫使彻底的静止。与实分析的反差鲜明,那里 sin x 有界、非常值、且在整个 R 上光滑。

确切地说:若 f 是整函数(在整个 C 上全纯)且存在常数 M 使得对每个 z 有 |f(z)| <= M,则 f 是常值。证明是柯西估计的两行推论——对任意半径 R 的圆,导数 f'(a) 以 M / R 为界,令 R -> infinity 就迫使每一点 f'(a) = 0,故 f 不能变化。

其著名推论之一是代数基本定理的复分析证明:若一个非常值多项式没有根,那么它的倒数将是一个有界整函数,因而是常值——荒谬。注意这些假设不可商量:去掉“整”,则 1/z 在远离原点处有界却非常值;去掉“有界”,则 e^z 是整函数且非常值。两个条件缺一不可。