柯西积分公式

柯西积分公式是数学中最令人惊叹的论断之一:对一个全纯函数,区域边界上的值完全决定了内部每一个值。仅知道 f 在一个圆上的值,你就能通过单个积分重建 f 在圆心处、以及在其他每一个内点处的值。内部被边界牢牢挟持——在固定边缘的同时,内部毫无摆动的自由。

确切地说,若 f 在正定向简单闭围道 gamma 之上及之内全纯,则对内部任一点 a,f(a) 等于 (1 / (2pi i)) 乘以 f(z) / (z - a) dz 沿 gamma 的围道积分。在积分号下求导给出每一阶导数的公式:f^{(n)}(a) 等于 (n! / (2pi i)) 乘以 f(z) / (z - a)^{n+1} dz 的围道积分。这单单一个公式立即证明全纯函数无穷次可微。

其推论层层涌出。该公式给出柯西估计,用 f 在边界上的大小界定各阶导数,由此刘维尔定理两行即出。它给出均值性质:f 在圆盘中心的值是其边界值的平均。而它也是证明全纯函数解析的途径——把 1/(z - a) 展开为几何级数并逐项积分,即得泰勒系数。