最大模原理

最大模原理说,一个非常值全纯函数绝不会在其定义域的严格内部有一个“尖峰”——其模的最大值总被推到边界上。把模 |f| 想象成区域上方一张绷紧薄膜的高度;原理禁止任何内部隆起。若最高点出现在内部,函数就会被迫处处是平坦的常值。

确切地说:若 f 在连通开集上全纯,且 |f| 在某内点取得局部极大,则 f 在整个集合上为常值。等价地,在有界区域上,若 f 在内部全纯并连续到边界,则 |f| 的最大值在边界上取得。其机制是柯西公式给出的均值性质:|f| 在圆心处不能超过 |f| 绕一圈的平均,而严格的内部极大会违背该平均,除非一切都是常值。

存在一个配对的最小模原理,但有一个告诫:非常值全纯函数不取 |f| 的内部极小,除非在 f 本身为零之处(零点平凡地是模的极小)。该原理是唯一性论证、施瓦茨引理及众多估计背后的主力;它再一次表明,全纯函数过于刚性,以至于其模没有内部局部极值。