复分析
复可微
把普通微积分中导数的定义——增量趋于零时差商的极限——拿来,把你所微扰的那个实数换成复数。这里的玄机极大:在实直线上你只能从左边或右边逼近一个点,但在复平面上,增量 h 可以沿任意你喜欢的路径、从无穷多个方向缩向零。复可微要求差商无论 h 从哪个方向逼近,都收敛到同一个极限。这单单一个要求,结果却强得惊人。
确切地说,定义在开集上的函数 f 在点 z0 处复可微,是指当复数 h -> 0 时,(f(z0 + h) - f(z0)) / h 的极限存在。这个极限的值就是复导数 f'(z0)。由于 h 是复数,该商是复数之商,而极限必须沿每一种逼近方式都相同——径向、螺旋向或其他任何方式。
把它和一个仅仅具有偏导数的双实变量实函数比较:那些偏导数只探测两个坐标方向,要弱得多。复可微性暗中蕴含一对相互关联的偏微分方程(柯西–黎曼方程),把实部和虚部捆绑在一起。这就是为什么在开集上一次复可微的函数会自动无穷次可微,甚至解析——这种刚性在实可微函数中毫无对应物。
f(z) = z^2 处处复可微:(f(z+h) - f(z))/h = (2zh + h^2)/h = 2z + h,当 h 从任意方向 -> 0 时趋于 2z。但 f(z) = conjugate(z) = x - iy 处处不复可微:沿实轴逼近时商为 1,而沿虚轴逼近时商为 -1,故极限不存在。
关于 z 的多项式复可微;共轭则不然。
在单个孤立点处复可微是一个很弱、几乎无用的条件;威力来自在整个开集上复可微,这正是“全纯”的含义。例如 f(z) = |z|^2 仅在 z = 0 处复可微,别处都不行,因此它处处不全纯。
又称
另见