柯西–黎曼方程

把复函数写成 f(z) = u(x, y) + i v(x, y),将它拆成实部 u 与虚部 v,二者都是两个实坐标的普通实函数。柯西–黎曼方程是精确的记账规则,它说:u 沿东向移动时的变化,必须与 v 沿北向移动时的变化相吻合;而 u 沿北向的变化,必须恰好是 v 沿东向变化的相反数。它们是复可微性的代数指纹。

具体地,方程为 u_x = v_y 与 u_y = -v_x,下标表示偏导数。在某点复可微的函数 f = u + iv 必然在该点满足这两个方程;而当 u 与 v 还实可微时(例如其偏导数存在且连续),满足柯西–黎曼方程就足以保证复可微。因此在温和的正则性下,它们是充分必要的。

几何上它们表明,映射 (x, y) -> (u, v) 的雅可比矩阵不是任意的 2 乘 2 矩阵,而是表示乘以某个单一复数的矩阵——一个旋转配上均匀缩放。这正是全纯映射保角的原因。一个诚实的告诫:仅在一点满足方程而偏导数不连续,本身并不能强制可微;存在仅在原点满足方程却在该处不连续的病态函数。