共形映射

共形映射是保持角度的平面变换:无论两条曲线以何角度相交,它们的像都以完全相同的角度相交,且旋转方向相同。它可以剧烈地拉伸、压缩、弯折与卷曲区域,但绝不剪切——无穷小的形状被旋转和缩放,而不被扭曲,故微小的正方形映成微小的正方形(而非平行四边形),微小的圆映成微小的圆。这是全纯性的几何面貌。

确切地说,全纯函数 f 在点 z0 处共形,当且仅当其导数 f'(z0) 非零。原因在于,到一阶为止,f 在 z0 附近的作用如同乘以复数 f'(z0),而乘以一个非零复数是一个旋转(转过 f'(z0) 的辐角)配上一个缩放(按其模)——而旋转加缩放保持角度。两个区域之间的共形映射是处处导数非零的全纯双射,也称双全纯映射。

共形映射在应用中居于核心地位,把物理问题(热流、静电、流体流动)的解从别扭的区域移植到圆盘或半平面这样的简单区域。深刻的黎曼映射定理说,平面中任何非整个 C 的单连通开子集都可共形地映成单位圆盘。关于导数条件的一个告诫:在 f'(z0) = 0 的点处角度不被保持而被放大(f'(z) = 0 为 k 阶的点把角度乘以 k+1),故此类点确实不共形。