同胚

同胚是拓扑学中“形状相同”的概念。如果你能通过拉伸与弯曲、而不切割或粘合，把一个空间形变成另一个——并且能同样平滑地把形变还原——那么这两个空间就是同胚的，就拓扑所能分辨的而言，它们完全一样。谚语里的咖啡杯和甜甜圈之所以同胚，是因为各自恰有一个洞。

确切地说，同胚是从 X 到 Y 上的一个双射 f，它连续，且其逆 f逆 也连续。逆的连续性至关重要且并非自动成立：它保证开集在两个方向上完美对应，于是 X 与 Y 在重命名点之后拥有完全相同的开集。任何纯粹用开集定义的性质——紧性、连通性、是否豪斯多夫——便为同胚空间所共有。

要当心：连续双射未必是同胚。把半开区间 [0, 1) 连续且双射地缠绕到圆周上的映射，是一个连续双射，其逆却不连续，因为逆映射必须“切开”圆周才能把它重新摊平。要求逆也连续，正是把真正的拓扑等价与“仅在单一方向上恰好连续的重新标号”区分开来的关键。