拓扑学基础
拓扑空间
可以把拓扑空间看作几何学的最简骨架：你抛弃了距离、角度和大小的一切概念，只保留唯一的信息——哪些集合算作“开集”，也就是哪些集合足够“宽松”，使得其中每个点周围都有一点活动余地。仅凭这一项要素，你仍然可以谈论邻近、连续与连通，尽管这里没有任何数字来度量两点相距多远。
严格地说，拓扑空间是一个二元组 (X, T)，其中 X 是一个集合，T 是 X 的若干子集组成的族，这些子集称为开集，并满足三条公理：空集与 X 本身是开集；任意多个（甚至无穷多个）开集的并是开集；有限多个开集的交是开集。族 T 称为 X 上的拓扑。
每个度量空间都自然给出一个拓扑空间——若一个集合中的每个点都落在某个含于该集合的开球内，就称它为开集——但反过来不成立：存在一些拓扑空间，其拓扑不来自任何度量。因此拓扑学严格地比度量几何更一般，这也正是它能够分离出那些在不撕裂的弯曲与拉伸下仍然保持的性质的原因。
在 X = {a, b, c} 上，族 T = { {}, {a}, {a, b}, {a, b, c} } 是一个拓扑：它含有 {} 与 X，并且对其中元素能形成的并与有限交封闭。这里 {a} 是开集而 {c} 不是，因此 a 与 c 在该空间中处境很不相同。
三点集上的拓扑不必是离散的；元素有限使得可以手工逐条验证公理。
同一个集合 X 可以承载许多不同的拓扑。一个极端是离散拓扑（每个子集都是开集），另一个极端是平庸拓扑（只有空集与 X 是开集）。比较固定集合上的不同拓扑——谁更细、谁更粗——是一个反复出现的主题。
又称
另见