拓扑

“拓扑”一词有两层相关含义。作为一门学科，它研究在连续形变——拉伸、弯曲、扭转，但绝不切割或粘合——之下保持不变的性质。作为附着在集合上的一组数据，拓扑就是“哪些子集被宣布为开集”的确切清单，正是这份清单把集合变成拓扑空间。

具体地说，集合 X 上的一个拓扑是 X 的子集组成的族 T，它包含空集与 X，对任意并封闭，并对有限交封闭。这三条封闭性就是全部定义；点集拓扑中其余一切都建立在它们之上。

“任意并”与仅限“有限交”之间的不对称是刻意为之且至关重要的。若允许任意交，整套理论就会坍塌：在实直线上，所有开区间 (-1/n, 1/n)（n = 1, 2, 3, ...）的交是单点集 {0}，而它并不是开集。有限交规则恰恰阻止了单点被迫成为开集。