拓扑学基础
子空间拓扑
当你从一个更大的空间中切出一个子集时，它理应从周遭继承一种“开”的观念，而非从零开始。子空间拓扑正是这样做的：子集中的一块算作开集，如果它是某个环境开集落在该子集内的那一部分——整体的开集与这一部分相交。
严格地说，若 (X, T) 是拓扑空间、A 是 X 的子集，则 A 上的子空间拓扑由一切形如 U ∩ A 的集合组成，其中 U 在 X 中是开集。这确实是 A 上的一个拓扑，并使 A 到 X 的包含映射连续；它是使之连续的最小拓扑。
至关重要的微妙之处在于：“开”与“闭”是相对于你所处的环境空间而言的。一个集合可以在 A 中是开的而在 X 中不是开的——半开区间 [0, 1) 作为 [0, 2] 的子集是开的（它等于 (-1, 1) ∩ [0, 2]），尽管它在整条实直线中不是开的。所以永远要问“在哪个空间中开？”好消息是，A 的紧性与连通性不依赖于环境空间，因为它们是内蕴的，但开性与闭性总是依赖于环境。
设 A = [0, 1] 位于 R 内。集合 [0, 1/2) 在 A 中是开的，因为 [0, 1/2) = (-1, 1/2) ∩ A，而 (-1, 1/2) 在 R 中是开集——尽管 [0, 1/2) 在 R 中并非开集。开性永远是关于某点相对于一个选定的环境空间的陈述。
[0, 1/2) 在 [0,1] 中开，但在 R 中不开——开性依赖于环境空间。
又称
另见