基（拓扑）

通过逐一列出每个开集来指定一个拓扑通常是无望的——实直线上的开集就有不可数多个。基是一小批易于掌握的开集，由它出发，每个开集都能靠取并重新拼装出来，正如开区间 (a, b) 生成了直线的全部开子集。你交出积木，并运算完成其余的工作。

严格地说，X 上某拓扑的一个基 B 是 X 的若干子集组成的族，使得：(i) X 的每个点至少落在一个基元素中；(ii) 每当一个点 p 落在两个基元素 B1 与 B2 的交里时，就存在一个基元素 B3，满足 p 在 B3 中且 B3 含于 B1 ∩ B2。由 B 生成的拓扑则规定：一个集合是开集，恰当它是若干基元素的并。

反过来，给定任意拓扑，它的一个基就是任一开集的子族，使得每个开集都是该子族成员的并。基使拓扑变得经济：要检验连续性，或要比较两个拓扑，只需对基元素作测试，而不必对所有开集作测试。