豪斯多夫空间

豪斯多夫空间是这样一种空间：任意两个不同的点都可以被隔离开——每个点拥有自己的开气泡，而两个气泡永不相触。这是一条不起眼的分离假设，它使拓扑空间表现得像分析学中的空间，那里不同的点显然相距足够远，可以干净地区分开来。

严格地说，X 是豪斯多夫的（也称 T2），如果对任意两个不同的点 p 与 q，都存在不相交的开集 U 与 V，使得 p 在 U 中、q 在 V 中。等价地，不同的点拥有不相交的邻域。这个条件温和却影响深远：正是它使极限表现良好。

在豪斯多夫空间中，序列（以及网）的极限是唯一的——收敛序列不可能同时悄悄逼近两个不同的点——并且每个紧子集都是闭集，每个有限集都是闭集。没有豪斯多夫公理，怪事就会发生：在平庸拓扑中每个序列都收敛到每个点，于是极限模糊得无可救药。每个度量空间都是豪斯多夫的（取半径为距离一半的球），这正是分析学家很少遇到非豪斯多夫空间的原因，但该公理确实是一条额外的假设，而非定理。