紧算子

紧算子是把无穷维“挤压”得趋近于有限行为的算子。它把任意有界集的像压成几乎有限维的集合——相对紧的，意即像中的序列总有收敛子列。紧算子是有限秩矩阵在无穷维中最亲近的表亲，其表现也几乎一样好。

确切地说，赋范空间之间的线性算子 T 是紧的，若单位球 B 的像 T(B) 有紧闭包（等价地，每个有界序列 (x_n) 都有子列使 (T x_n) 收敛）。在希尔伯特空间或巴拿赫空间上，紧算子构成有界算子代数中的一个闭的双边理想，并且恰好是有限秩算子的范数极限（对希尔伯特空间及许多巴拿赫空间成立）。

它们的谱理论格外干净。由 Riesz–Schauder 理论，无穷维空间上的紧算子，其谱由 0 连同至多可数个非零特征值组成，每个特征值有限重数，且 0 是唯一可能的聚点。需注意：在无穷维空间上 0 总落在谱中（恒等算子绝不紧），而 0 未必是特征值。