阿尔泽拉–阿斯科利定理

在有限维中，波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理说任何有界序列都有收敛子序列。在无穷维的函数空间里仅有有界性是不够的——序列可以有界却逃逸到无处。阿尔泽拉–阿斯科利定理是救援：它精确指出那个额外条件（等度连续），以恢复连续函数中“有界蕴含存在收敛子序列”。

定理：设 K 是紧度量空间。C(K) 的子集 F 具有紧闭包（从而 F 中每个序列都有一致收敛的子序列），当且仅当 F 一致有界且等度连续。序列形式：紧集上一个一致有界且等度连续的函数序列，必有子序列一致收敛到某连续函数。

其深刻内容是对 C(K) 中紧性的刻画：相对紧的集恰是有界且等度连续的集——有界性使函数不至于竖直方向逃逸，等度连续使它们不至于剧烈振荡而散去。该定理是分析学众多存在性证明背后的引擎：微分方程解的存在性（皮亚诺定理）、变分法、正规族、积分算子的紧性，无不依赖它。