函数族的一致有界

单个函数有界，是指它的图像夹在两条水平线之间。整个函数族一致有界，是指同一对水平线一次性容纳了所有成员——存在单一的天花板，集合中没有任何函数会戳穿它，无论函数有多少。

定义：集合 E 上的函数族 F 称为一致有界的，是指存在常数 M（既不依赖于 x，也不依赖于所选函数），使得对所有 x 属于 E 和所有 f 属于 F 都有 |f(x)| <= M。等价地，在上确界范数下 sup 关于 f 属于 F 的 ||f|| <= M。这比每个 f 各自有界更强，因为后者只给出每个函数各自的界 M_f，并无共同的天花板。

一致有界是阿尔泽拉–阿斯科利定理的两个假设之一，它阻止函数竖直方向逃逸，而等度连续阻止水平方向的狂乱。一个相关但更深刻的现象是线性算子的一致有界原理（巴拿赫–施泰因豪斯定理），它表明逐点的界有时能自动升级为一致的界——但那是一种特殊的结构性奇迹，并非这里的一般情形。