酉算子

酉算子是希尔伯特空间的一次刚性旋转——它把向量挪来挪去，却从不改变任何长度或角度。它是正交（旋转）矩阵的无穷维版本。因为它保全部几何，所以可逆，而其逆恰是它的伴随，这使它格外易于处理。

形式地，希尔伯特空间上的有界算子 U 是酉的，若它是满射且保内积：对一切 x, y 有 <U x, U y> = <x, y>。等价地 U 可逆且 U* = U^{-1}，亦即 U U* = U* U = I。保内积迫使 ||U x|| = ||x||（它是等距），而满射把这个等距升级为完整的酉算子。

满射并非自动成立，绝不能略去：l^2 上的右移算子保内积（它是等距，U* U = I）却不是满射，故不是酉的（U U* 不是恒等）。酉算子的谱总落在单位圆 |lambda| = 1 上，正映照出正交矩阵的特征值模长为一。