伴随算子

伴随算子是算子“在内积下的反射”。用矩阵的话说就是共轭转置：把 T 翻到内积配对的另一侧后所得的算子。它是抽象的工具，让你把 T 从作用于第一个位置挪到作用于第二个位置，并支撑起整套分类（自伴、正规、酉）。

在希尔伯特空间 H 上，有界算子 T 的伴随 T* 是唯一满足 <T x, y> = <x, T* y>（对一切 x, y 属于 H）的有界算子。其存在与唯一性来自里斯表示定理。映射 T -> T* 是共轭线性的，反转乘积（(ST)* = T* S*），满足 (T*)* = T，且是等距的：||T*|| = ||T||，事实上 ||T* T|| = ||T||^2（C*-恒等式）。

对希尔伯特空间上的有界算子，伴随总存在且有界。对无界稠定算子，伴随的定义更为精细——其定义域由那些使 x -> <T x, y> 有界的 y 组成——而定义域是否匹配，正是区分对称与自伴的核心。在一般巴拿赫空间上，则改用作用于对偶空间之间的对偶（转置）算子，它在里斯辨认之下与希尔伯特伴随一致。