泛函分析
里斯表示定理
里斯表示定理揭示：在希尔伯特空间中，除了与某个固定向量取内积之外，没有别的方式能线性而连续地度量一个向量。每一种对向量的连续“标量读数”暗地里都是“与 y 作点积”，且 y 唯一。对偶空间——先验地本可能是个陌生的新对象——结果竟是空间自身的忠实复本。
确切陈述：若 H 是希尔伯特空间，f : H -> 标量 是有界（连续）线性泛函，则存在唯一的 y 属于 H 使对所有 x 属于 H 有 f(x) = <x, y>，且泛函的范数等于表示向量的长度，||f|| = ||y||。对应 f <-> y 是对偶空间 H* 与 H 之间的双射；在实数域上它是线性等距同构，在复数域上是共轭线性的。
证明是投影定理的一个干净应用。若 f 恒为零则取 y = 0；否则 f 的核是余维数为一的闭子空间，其正交补是一维的，把该补中的一个单位向量适当缩放便恰好产生表示向量 y。这就是为何希尔伯特空间被称为自对偶，而一般巴拿赫空间并无此性质。
在 l^2 上取泛函 f(x) = sum over n of x_n / 2^n。因 |f(x)| <= ||x|| ||y||（其中 y = (1, 1/2, 1/4, ...)）它有界，里斯定理说 f(x) = <x, y> 恰对这个 y 成立。其范数为 ||f|| = ||y|| = sqrt(sum 1/4^n) = sqrt(4/3) = 2/sqrt(3)。
l^2 上一个具体的泛函，及经内积表示它的唯一向量。
此定理是量子力学狄拉克记号的根基：每个左矢 <psi| 就是那个连续泛函“与右矢 |psi> 取内积”。它也是微分方程弱形式的基础，其中解由它与试验函数的配对方式来刻画。
又称
另见