对偶空间
对偶空间汇集了把向量变成数的每一种连续方式。若一个向量空间装着我们关心的对象，它的对偶就装着你能对它们做的测量——每个测量都线性且连续。通过对偶来研究一个空间，犹如通过一个形状的所有影子来研究它：影子往往更易处理，却揭示了一切要紧之处。
对赋范空间 X，对偶空间 X* 是所有有界线性泛函 f : X -> 标量 的集合，并由算子范数 ||f|| = 在 ||x|| <= 1 上 |f(x)| 的上确界 赋以赋范结构。一个根本且令人安心的事实：X* 总是完备的——一个巴拿赫空间——即使 X 本身不完备，因为标量域完备。故对偶空间自动跻身表现最佳的空间之列。
不同的具体空间有不同的对偶，辨认它们是个反复出现的主题。对 1 <= p < 无穷，l^p 的对偶是 l^q，其中 1/p + 1/q = 1；由里斯定理，希尔伯特空间的对偶是它自身（的复本）；类似地 L^p 的对偶是 L^q。须当心：l^infinity 的对偶严格大于 l^1，故此模式不能延伸到端点，提醒人们核验假设而非外推。
l^1 的对偶是 l^infinity：l^1 上的有界泛函具有形式 f(x) = sum x_n y_n，其中 y = (y_n) 是唯一的有界序列，且 ||f|| = sup_n |y_n| = ||y||_infinity。例如 y = (1, -1, 1, -1, ...) 给出泛函 f(x) = x_1 - x_2 + x_3 - ...，其范数恰为 1。
把 l^1 的对偶辨认为 l^infinity，并给出一个具体的单位范数泛函。
把 X 经 x -> (在 x 处求值) 映入它的二次对偶 (X*)* 总是一个等距；当它满射时，称 X 自反。希尔伯特空间及 1 < p < 无穷 的 L^p 自反，但 L^1、L^infinity 与 C[0, 1] 不自反——这一结构性区别对弱收敛有实在的影响。