泛函分析
弱收敛
弱收敛是一种较温和的接近概念：它不要求向量在长度上彼此靠拢，而只要求对它们的每一种连续线性测量在极限处一致。两个向量可以在范数上相距甚远却弱地相近，只要没有任何单一泛函能在极限处分辨它们。这是透过一切可能的影子、而非正面看到的收敛。
确切地说，在赋范空间 X 中，序列 x_n 弱收敛于 x，若对对偶 X* 中的每个有界线性泛函 f 都有 f(x_n) -> f(x)。范数收敛（||x_n - x|| -> 0，亦称强收敛）总蕴含弱收敛，反之则不然。弱收敛之要点在于它远更易达成：自反空间（例如任意希尔伯特空间，或 1 < p < 无穷 的 L^p）中的有界序列总有弱收敛的子序列，纵使它们可能没有任何范数收敛的子序列。
经典的警示是：在弱极限下范数仅是下半连续而非连续的：人们有 ||x|| <= liminf ||x_n||，且不等式可以严格——质量可在极限处“逃逸”。在无穷维希尔伯特空间中，标准正交序列 e_n 弱收敛于 0，却对所有 n 保持 ||e_n|| = 1，这生动地展示了弱极限丢失了范数极限本会保留的信息。
在 l^2 中，基向量 e_n 对每个固定的 y 满足 <e_n, y> = y_n -> 0（因为 sum |y_n|^2 < 无穷 迫使 y_n -> 0），故 e_n 弱收敛于 0。然而对所有 n 有 ||e_n - 0|| = 1，故 e_n 并不依范数收敛。这单个序列就干净地分开了两种概念。
l^2 中的标准正交序列：弱收敛于零却范数恒为 1，从不依范数收敛。
在有限维中弱收敛与强收敛一致，因为只有有限多个坐标可供检验。二者仅在无穷维中分道扬镳，而那恰是弱收敛大显身手之处：它恢复了一种紧性（有界序列有收敛子序列），这正是范数拓扑所丧失的。
另见