泛函分析
哈恩–巴拿赫定理
哈恩–巴拿赫定理保证总有足够多的连续泛函可供做几何。每当你在一个小子空间上以受控的方式测量了向量，你便能把该测量延拓到整个空间，且绝不超出原有的控制。它是一个承诺：对偶空间又大又丰富——大到足以分离点、支撑超平面、探测方向。
其赋范空间形式为：设 Y 是赋范空间 X 的子空间，f 是 Y 上的有界线性泛函。则存在 X 上的有界线性泛函 F，在 Y 上与 f 一致且范数相同，||F|| = ||f||。扩大定义域绝不会迫使范数增长。（更一般的分析版本把范数换成任意次线性泛函 p，仅要求 F <= p。）
它的推论无处不在。对任意非零 x，存在一个单位范数泛函使 f(x) = ||x||，故泛函确实能看见每个向量；点与闭子空间可由超平面分离；而 X 到其二次对偶的典范嵌入是等距。与更深刻的巴拿赫空间定理不同，哈恩–巴拿赫不需要完备性——但在完全一般的情形下，它确实依赖选择公理（经由佐恩引理）。
在取最大值范数的 R^2 的子空间 Y = { (t, 0) : t 为实数 } 上，定义 f(t, 0) = t，故 ||f|| = 1。形如 F(x, y) = x + c y 的到 R^2 的延拓恰在 |c| <= 1 时保持范数 1，于是有无穷多个保范延拓——这是哈恩–巴拿赫所容许的非唯一性的有限维缩影。
一个泛函的许多互异保范延拓，体现非唯一性。
延拓一般不唯一——可以有许多保范延拓——定理断言的是存在性而非公式。在复数域上，先处理实部、再重建复泛函，这是一个值得记住的标准两步技巧。
另见