魏尔斯特拉斯逼近定理

多项式是我们能手算的最简单函数:只需加法与乘法。魏尔斯特拉斯逼近定理做出了一个惊人的承诺——闭有界区间上的每个连续函数,无论多么扭曲或锯齿,都能被多项式同时在各处任意逼近。仅凭连续性就足够了,无需任何光滑性。

表述:若 f 在闭区间 [a, b] 上连续,则对每个 epsilon > 0 都存在多项式 p,使得对所有 x 属于 [a, b] 有 |f(x) - p(x)| < epsilon。等价地,在上确界范数(一致接近的范数)下,多项式在连续函数空间 C([a, b]) 中稠密。这种逼近是一致的:同一个多项式在整个区间上都起作用,而非逐点起作用。

请注意它没有断言什么。它并未给出一个收敛到 f 的单一幂级数——逼近用的多项式随 epsilon 缩小而改变,未必是某一个级数的部分和。事实上 f 甚至可以处处不可微,因而可能根本没有泰勒级数。一个具体的构造用到伯恩斯坦多项式,它们一致收敛到 f,并给出一个明确而带概率味道的证明。