斯通-魏尔斯特拉斯定理

魏尔斯特拉斯证明了多项式能逼近区间上任何连续函数。斯通提出了自然的追问:多项式究竟是什么性质使这成为可能,别的函数族能否做到同样的事?斯通-魏尔斯特拉斯定理把答案提炼为几个结构性条件,极大地推广了原定理。

设定:设 X 是紧空间(例如 R^n 中的闭有界子集),C(X) 是其上的连续实值函数。设 A 是 C(X) 的一个子代数——即对加法、乘法与数乘封闭的集合。若 A 包含常值函数且分离点(对任意两个不同点,A 中都有函数在它们上取不同的值),则 A 在上确界范数下于 C(X) 中稠密。每个连续函数都是 A 中元素的一致极限。

[a, b] 上的多项式满足这些假设(它们构成一个代数、包含常数,而单个函数 x 就已分离点),所以经典定理是其特例。这两个条件确实是必要的:无法区分两个点的函数族,或对乘法不封闭的函数族,可能错过某些连续函数。复值版本需附加条件:A 对复共轭封闭。