连续函数空间

一旦你用上确界范数来度量函数，紧集上全体连续函数就不再是一团模糊的“一堆函数”，而成为一个单一的几何对象：一个以函数为点、以最坏情形差距为距离的空间。于是你可以像谈论 R^n 中的点一样，谈论收敛、完备性，乃至函数构成的球。

设 K 是紧度量空间（例如闭区间 [a, b]）。空间 C(K) 由 K 上全体连续的实值（或复值）函数组成，配以上确界范数 ||f|| = max 关于 K 的 |f(x)|。这使 C(K) 成为一个赋范向量空间，而在此范数下的收敛恰是一致收敛。

核心定理是 C(K) 完备：每个一致柯西的连续函数序列都在上确界范数下收敛到一个连续函数。（完备性来自一致柯西准则，极限保持连续则由一致极限定理保证。）完备的赋范空间称为巴拿赫空间，故 C(K) 是巴拿赫空间——它是魏尔斯特拉斯逼近定理、斯通–魏尔斯特拉斯定理等逼近结果的天然栖所。