共轭指数

当两个指数的倒数互为搭档、加起来恰为一个整体——恰为一——时，它们便是共轭的。设想一份固定的「权重」单位要分给两名玩家：若一人取走其中的 1/p，另一人就须取 1/q，方能把整体用尽。正是这套记账使赫尔德不等式得以平衡，将一个 L^p 因子与一个 L^q 因子配对。

形式上，对 1 < p < 无穷，共轭指数 q 由 1/p + 1/q = 1 定义，等价于 q = p/(p - 1)。该关系是对称的：p 是 q 的共轭，正如 q 是 p 的共轭。端点按约定处理：1 的共轭是无穷，无穷的共轭是 1，与 L^1 同 L^infinity 的配对相符。自共轭之值为 p = q = 2。

一个有用的检验：当 p 增大趋于无穷时，q 减小趋于 1，反之亦然——大的 p（对尖峰敏感）与小的 q（对总质量敏感）相配。共轭指数是赫尔德不等式、闵可夫斯基证明、L^p 对偶性以及插值理论中那位沉默的搭档；几乎每个 L^p 估计都悄悄用到它。