Lp 范数

范数用一个非负数回答「这个对象有多大」。对函数而言合理的答案有很多，而 L^p 范数是其中一个单参数的旋钮。把旋钮拨到 p = 1，度量的是累积的总大小（|f| 下方的面积）；拨到 p = 2，度量的是均方根或「能量」式的大小；随着 p 增大，它越来越关注最高的尖峰，越来越忽视宽广的低平区域。

对 (X, mu) 上的可测函数 f 及 1 <= p < 无穷，L^p 范数为 ||f||_p = (|f|^p 的积分) 的 1/p 次方。外层的 1/p 次方是关键：它使范数齐次，从而对任意标量 c 有 ||c f||_p = |c| ||f||_p，恢复范数应有的伸缩性。没有它，把 f 乘以 c 会使该量乘上 |c|^p 而非 |c|。

严格说来，唯有在把几乎处处相等的函数等同后它才是范数，因为 ||f||_p = 0 只能逼出 f 几乎处处为零，而非处处为零。在未作等同的函数空间上它仅是一个半范数。三角不等式 ||f + g||_p <= ||f||_p + ||g||_p 对所有 p >= 1 成立，这正是闵可夫斯基不等式；当 0 < p < 1 时它不成立，故那些指数给不出真正的范数。