闵可夫斯基不等式

闵可夫斯基不等式正是 L^p 范数的三角不等式：两个函数之和的大小绝不超过各自大小之和。从几何上说，正如你不能靠走三角形的两条边而非一条来缩短行程，你也无法使 ||f + g||_p 大于 ||f||_p + ||g||_p。没有这一事实，L^p 范数便根本配不上「范数」之名。

形式上，对 1 <= p <= 无穷 及 f, g 属于 L^p，有 ||f + g||_p <= ||f||_p + ||g||_p。当 1 < p < 无穷 时的标准证明，把 |f+g|^p 的积分写成 |f+g| 乘以 |f+g|^(p-1) 的积分，利用 |f+g| <= |f| + |g| 拆开，再对每一块用共轭指数 q = p/(p-1) 施以赫尔德不等式。端点情形 p = 1 与 p = 无穷 直接由数的普通三角不等式得出。

等号（当 1 < p < 无穷 时）仅在 f 与 g 指向「同一方向」时成立——确切地说，即其中一个几乎处处是另一个的非负标量倍。需注意：该不等式确实要求 p >= 1。当 0 < p < 1 时，对适当的函数它会反向，这正是那些指数无法构成赋范空间的原因。