序列及其极限
极限的代数运算
极限的代数运算是一组规则，让你把复杂的极限拆成简单的零件来计算。若你已知两个序列的极限，便可直接读出它们的和、差、积、商的极限，而无需回到 epsilon-N——极限运算彬彬有礼地穿过普通的算术。
确切地说，设 a_n -> A 且 b_n -> B。则 a_n + b_n -> A + B，a_n - b_n -> A - B，a_n b_n -> AB；对任意常数 c，c a_n -> cA。对商，只要 B 不为 0（且各项 b_n 最终非零），就有 a_n / b_n -> A / B。这些规则是从 epsilon-N 定义出发证明的定理，通常借助三角不等式，而非仅是记号。
有两条告诫使这些规则保持诚实。其一，每条规则都预设两个极限已经存在（且有限）；在你确知各零件收敛之前，不可把极限拆过各运算。其二，商的规则确实需要 B 非零——当 B = 0 时，这个比值可以是任何东西，这正是 0/0 等不定型的来源，需要诸如夹逼定理或仔细估计之类的另外工具。
求 (3n^2 + 2)/(n^2 - n) 的极限：分子分母同除以 n^2 得 (3 + 2/n^2)/(1 - 1/n)。此时 2/n^2 -> 0 且 1/n -> 0，故由极限的代数运算，该比值趋于 (3 + 0)/(1 - 0) = 3。
化归为 1/n -> 0 之类的已知极限，再用极限法则组合。
在某个零件发散时拆分极限是经典错误：a_n = n 与 b_n = -n 都发散，但 a_n + b_n = 0 收敛。当各部分没有有限极限时，求和法则根本不适用。
又称
另见