连通空间

一个空间是连通的，如果它整个是一块——你无法把它劈成两个彼此分离、其间留有干净缝隙的世界。实直线是连通的；并排摆放、当中透着光的两段不相交区间则不是。连通性把“空间内部没有断裂”的直觉形式化。

其精确定义由“禁止什么”给出。空间 X 是连通的，如果它不能写成两个不相交的非空开集之并。等价地，X 中既开又闭的子集（开闭集）只有空集与 X 本身；任何别的开闭集都会把空间劈开。

连通性是拓扑不变量——为连续映射与同胚所保持——并支撑着介值定理：连续实函数在连通定义域上取遍其任意两值之间的每一个值，正因为它的像作为连通集的连续像，自身也连通，因而是一个区间。一个微妙之处：连通并不蕴含道路连通；拓扑学家的正弦曲线连通，却无法用连续道路走遍。