实分析

实分析研究的是实数轴以及生活在其上的一切——序列、函数、导数、积分——并以严格的方式展开。如果说分析是一座城市，实分析就是它的地基与老城区：其他一切都是从这些街道向外扩建出去的。

具体而言，实分析在实数 R 上发展极限、连续、微分以及黎曼（其后是勒贝格）积分的理论，从那些使 R 成为完备有序域的公理出发。把 R 与有理数 Q 区分开来的那个唯一性质——完备性，即没有缝隙——正是使核心定理（介值定理、极值定理、柯西序列收敛）成立的原因。

实分析在一种精确的意义上是基础性的：复分析、测度论、泛函分析与微分方程都建立在它的结果之上，并继承它的证明标准。值得强调的一点是：学生日后遇到的几乎每一处困难与反例，都已在实数轴上的实分析中以微缩形式出现过——这恰恰是它被最先讲授的原因。