无穷小（历史的）

无穷小曾被想象为一个大于零却小于每个普通正数的数——一个小到在计算末尾可以丢弃、却又在计算中途非零到足以被用作除数的量。它好用、直观，而若按字面理解，则是自相矛盾的。

在牛顿与莱布尼茨的微积分里，导数是通过构造无穷小增量之比 dy/dx、再“略去”无穷小余项而算得的。这种方法在实践中出奇地有效，但其基础却遭到攻击（贝克莱讥讽其为“逝去之量的幽灵”），因为没有任何实数既为正又小于每个正数——R 的阿基米德性质禁止这种数存在。

十九世纪的解决之道用严格的极限取代了无穷小：人们不再谈一个实际无穷小的量，而是研究当某个量变得任意小时会发生什么，并以 epsilon–delta 加以量化。需诚实地补一脚注：无穷小后来在罗宾逊的非标准分析（1960 年代）中借助一个更大的数系被严格地恢复了，但那是另一套可选的框架——标准实分析完全不用它们。