保险现值的方差（variance of the insurance present value）

精算现值 A_x 告诉你身故给付的平均价值，但平均值掩盖了离散程度。对任何一张保单而言，实际现值都是一个随机变量——记作 Z——因为它取决于身故究竟发生在何时。若明年身故，Z 很大（折现很轻的一笔给付）；若五十年后身故，Z 很小（折现很重的一笔）。保险现值的方差衡量 Z 围绕其均值 A_x 摆动的幅度：它是保险公司在单张保单上的风险，是那种在庞大群体中会被平均掉、但落到单张合同上却很扎手的东西。

计算它有一个非常简洁的办法。在身故年末支付的单位给付，其现值是 v 的「身故时点」次方；它的平方恰好就是「在双倍利息力下的 v」。于是 Z 的二阶矩——前面加个 2 记作 2A_x——正是同一个保险函数，只不过在「利息力翻倍」的意义下计算（把 v 换成 v 的平方）。方差便是标准的「平方的均值减均值的平方」：Var(Z) = 2A_x - (A_x)^2。比如，若 A_x = 0.30、2A_x = 0.12，则方差为 0.12 - 0.09 = 0.03，标准差约 0.17——相对于 0.30 的均值已经很大。

正是这个方差为风险分摊和资本提供了依据。单张身故给付合同波动很大；但大数定律告诉我们，n 张独立保单平均值的方差会按 1/n 收缩，所以一本庞大且分散良好的业务远比单张保单可预测。精算师用同一套机理来设定分位数保费、确定安全加载、并估计在选定置信水平下维持偿付能力所需的资本。关键提醒：这个干净的公式假设各生命相互独立且利率固定——若死亡相关（如大流行）或利率随机，真实方差会大于 2A_x - (A_x)^2 所暗示的值。