终身寿险精算函数（whole life insurance，A_x）

假设保险公司承诺，在某人身故的那一刻支付 1，无论何时身故——可能明年，也可能五十年后。这份承诺今天值多少？身故终将发生，所以这笔给付一定会付出；唯一的问题是何时付，从而要按利息折现多少。早逝意味着早付，折现得轻，因而值得多；晚逝意味着重重折现后所剩无几。终身寿险精算函数，记作 A_x，就是这份「无论何时身故都付 1」的承诺，对现年 x 岁的人而言今天的精算现值。

计算时，你逐年扫过未来每一年，取金额 1 的给付，从身故那一年折现回今天，再用「身故恰好落在该年」的概率加权。对所有年份求和，就是 A_x。用文字说：A_x 等于对未来每一年 k 求和的 (折现到该年的因子) 乘以 (在该年身故的概率)。由于身故必然发生，A_x 可看作对「身故这个未知时刻」取的一种加权平均折现因子。在中等利率下，一位健康成年人每单位的 A_x 典型值大约在 0.2 到 0.4——远低于 1，因为这笔给付平均而言要等许多年。

A_x 是这门学科中最重要的单一保险函数；几乎所有其他身故给付的价值都是它的变体（定期、延期、两全）。它通过关系式 A_x = 1 - d 乘以期初终身年金（d 为贴现率）与年金优美地咬合在一起——务必记住这个恒等式，它把整门学科串了起来。一个常见误解是「A_x 越大代表风险越大」；事实上 A_x 随年龄上升、随利率上升而下降，只是反映出这笔身故给付在现值意义上离得更近，或融资成本更低而已。