保险与年金的关系（insurance-annuity relationship）

保险在身故时付一笔趸款；年金在在世期间付一串款。它们看似相反，实则是同一枚硬币的两面，由整门学科中最优雅的恒等式之一相连：A_x = 1 - d 乘以 ä_x，其中 d 是年贴现率。变形后为 ä_x = (1 - A_x) / d。知其一便立刻知其二——无需另作计算。

它从何而来？设想今天投资 1，并承诺在此人在世期间，每年把它所生的利息持续付出，待其身故时再把剩下的本金交出。每年的利息付款构成一份年金，身故时归还的本金构成一份保险。二者合起来必定重新拼回你最初投入的那个 1。把折现一路算清，这条「价值守恒」的陈述就恰好变成 A_x = 1 - d 乘以 ä_x。同一个恒等式在两全保险上有定期形式 A_{x:n} = 1 - d 乘以 ä_{x:n}，在连续形式下则用利息力替代 d。

这个关系在实务中极其有用。寿命表与软件常列出年金值，而这个恒等式让你免费读出对应的保险值（反之亦然）；它还能让你把保费与准备金公式改写成更简洁的那种形式。唯一要弄对的是该用哪个利息量：离散恒等式用的是 d，即贴现率（d = i / (1 + i)），既不是利率 i，也不是利息力。代错了利率——这是初学者的经典错误——优雅的恒等式就会悄无声息地给出错误答案。