方差与标准差

期望告诉你一个随机量平均落在哪里，却没说它会多么剧烈地上下跳动。两家保险公司每张保单的预期损失都可能是 1000 元，可其中一家的损失紧紧聚拢在 1000 元附近，另一家却在 0 到 50000 元之间大幅摆动。方差与标准差度量的正是这种离散程度——结果通常会偏离均值多远。

方差记作 Var(X)，是“与均值之距”的平方的平均值：Var(X) = E[(X - E[X])^2]。取平方使偏差保持为正，并对大幅偏离施以重罚。因为取平方也改变了单位（元变成元的平方），我们通常再开平方得到标准差，它回到原来的单位，可直接解读为“典型偏差”。一个好用的事实：Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2。方差不像均值那样具有线性性：对相互独立的变量，方差相加，Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)，但当变量相关时会冒出一项协方差。

离散程度正是保险被设计来驯服的东西，所以方差遍布精算工作。加在纯保费之上的风险附加反映了损失的标准差；资本要求随损失分布的波动性而放大。大数定律之所以奏效，恰恰是因为把许多相互独立的风险汇集起来会缩小平均损失的标准差，使整个风险池变得可预测，尽管每张保单都不可预测。相对离散程度，即标准差除以均值（变异系数），是衡量某条业务线风险高低的常用标尺。