期望

随机变量的期望是它的长期平均值——如果你能把试验反复进行无数次再把结果取平均，最终会收敛到的那个数。它是对一个随机量“通常落在哪里”最好的单一数字概括，是其分布的平衡点。我们把它写作 E[X]，常称之为均值。

你把它算作可能取值的“概率加权平均”：把每个取值乘以它的概率，再全部相加（对连续变量，则对“取值乘以密度”做积分）。如果一张彩票以 0.99 的概率赔 0 元、以 0.01 的概率赔 100 元，它的期望就是 0×0.99 + 100×0.01 = 1 元，尽管你实际上永远不可能正好赢得 1 元。一个极其有用的性质是线性性：E[aX + bY] = a·E[X] + b·E[Y] 永远成立，即使 X 与 Y 相互依赖也成立——这正是为什么“和”的期望如此好处理。

期望是保险定价的奠基石。纯保费——价格中用来覆盖理赔的那部分——本质上就是 E[损失]，即所转移风险的预期成本。一份给付的精算现值就是一个期望。平衡原则（等价原则）按“保费的预期现值等于给付的预期现值”来设定保费。但有一条至关重要的警告：单凭期望对风险只字未提；两张保单可以有相同的 E[损失]，其中一张风平浪静，另一张却可能出现足以致命的大幅波动。