无界算子

分析与物理中最重要的一些算子——微分、位置算子与动量算子、拉普拉斯算子——都是无界的：它们能把单位长度的输入放大成任意大的输出。这样的算子无法在整个空间上作用而不爆破，因而只活在精心选定的稠密子空间——它们的定义域上。

希尔伯特空间 H 上的无界算子 T 是定义在 H 的稠密子空间 D(T)（其定义域）上的线性映射，使得不存在任何有限常数 C 让 ||T x|| <= C ||x|| 对一切 x 属于 D(T) 成立。定义域是数据的一部分：同一个公式在不同定义域上是不同的算子。要求稠定，伴随算子才有可能被定义。

连续性丧失了——无界算子必然不连续——因而有界算子的便利理论不能照搬。取而代之，人们要求算子是闭的（其图像在 H x H 中闭），这是恰当的替代品，使谱理论与闭图像视角得以保持。闭图像定理警示：定义在整个 H 上的闭算子会自动有界，这正是为什么真正的无界算子必须有真正稠密的定义域。