泛函分析
闭图像定理
闭图像定理为证明一个算子连续提供了省力的捷径。通常要证 T 连续，你必须验证 x_n -> x 迫使 T x_n -> T x——既要输入收敛，又要输出收敛到正确之处。此定理允许你假定输出已经收敛到某物，而仅需核验那个某物就是正确的值 T x。
确切地说：设 X 与 Y 是巴拿赫空间，T : X -> Y 是线性算子。设它的图像——所有数对 (x, T x) 构成的集合——在 X (×) Y 中是闭的，即每当 x_n -> x 且 T x_n -> y 时便有 y = T x。则 T 有界（连续）。简言之，对巴拿赫空间之间的线性映射，图像闭就足够了；连续性免费奉送。
其威力在于较弱的假设。直接证连续要求造出 T x_n 的极限并辨认它；闭图像路线则把一个极限 y 交到你手上，只要确认 y = T x，往往容易得多。与开映射定理一样，两空间的完备性是本质的；该结果事实上与开映射定理等价，同样依赖贝尔纲。
设 T : X -> Y 是巴拿赫空间之间的线性算子，且你已知两件事：x_n -> 0，以及对某个 y 有 T x_n -> y。要应用定理，你必须证明 y = 0。譬如，若你能独立证明对每个零序列都有 T x_n -> 0（也许借助某个积分恒等式），则图像闭，T 有界——无需对算子范数作任何 epsilon–delta 估计。
把闭图像当作捷径：假定输出极限存在，只需辨认它。
连续总蕴含图像闭（在豪斯多夫目标中）；定理提供的是那个非平凡的逆命题，仅在完备性下成立。经典的反例是微分：作为 L^2 某稠密子空间上的算子，它图像闭却无界——因为它定义在一个非闭的定义域上，而非整个巴拿赫空间上。
另见