泛函分析
开映射定理
开映射定理说：巴拿赫空间之间一个击中一切的有界线性算子不可能压扁空间——它必把开区域铺展成开区域。直观地说，若算子能到达每个目标，它就不可能在任何地方无限地压缩；仅凭满射就强制出一种定量的开性。没有任何缓慢的、渐近的方式去覆盖整个目标。
确切地说：设 X 与 Y 是巴拿赫空间，T : X -> Y 是满射的有界线性算子。则 T 是开映射——每个开集 U 的像 T(U) 在 Y 中是开的。等价地，存在常数 c > 0 使每个 y 属于 Y 都有原像 x 满足 ||x|| <= (1/c) ||y||：有界大小的目标可由有界大小的源到达。
头号推论是有界逆定理：若 T 是巴拿赫空间之间的有界线性双射，则 T 的逆也自动有界，故 T 是拓扑同构。两个空间的完备性都不可或缺——证明依赖贝尔纲定理——而对不完备空间或非满射算子，结论确实失效。这是定性假设（线性、有界、满射、完备）强制出定量结论的一个惊人实例。
设同一向量空间带有两个范数 ||·||_a 与 ||·||_b，在各自之下都完备，且对所有 x 有 ||x||_b <= C ||x||_a。则恒等映射 (X, ||·||_a) -> (X, ||·||_b) 是有界双射，故由有界逆定理还存在 c > 0 使 ||x||_a <= (1/c) ||x||_b：两个完备范数的单边比较自动升级为等价。
单向可比的两个完备范数自动等价。
三大支柱——开映射、闭图像、一致有界——都源于贝尔纲定理，故都要求完备性。撤去两空间皆为巴拿赫的假设，每个陈述都会崩塌；这是援引它们时最需牢记的告诫。
另见